МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Національний Університет “Львівська політехніка” Кафедра “Електронні обчислювальні машини” Лабораторна робота №2 з дисципліни “МОДЕЛЮВАННЯ” на тему : “Моделювання процесів теплопереносу” Коляса Р. Р. Львів – 2005 Мета роботи: Розробити програму для візуального відображення просторово-часового розподілу температури однорідного стержня шляхом чисельного інтегрування диференційного рівняння теплопровідності. Загальні відомості Одним із ефективних методів аналізу температурних режимів (як електронних пристроїв в цілому, так і окремих їх компонентів) є моделювання процесів теплопереносу за допомогою засобів обчислювальної техніки. Основою такого моделювання є чисельне інтегрування диференційних рівнянь, які описують процеси теплообміну. Рівняння теплопровідності (дифузії) у загальному випадку може бути записане наступним чином:
 де ( - густина матеріалу об’єкту, p – коефіцієнт температуропроводності, q – коефіцієнт теплопередачі. Функція
описує температуру об’єкту або різницю температур між температурою об’єкту та зовнішнього середовища. Функція
визначає інтенсивність зовнішніх джерел тепла. Відомо, що рівняння  належить до рівнянь параболічного типу. Для знаходження розв’язку цього рівняння в обмеженій частині простору необхідно задати певним чином початкові та граничні умови. Існує декілька типів граничних умов (граничні умови першого, другого та третього роду), в залежності від температурних режимів на границі області визначення рівняння (1). Початкові умови описують стан системи в початковий момент часу. Для рівняння  задається неперервна функція
:
 де G – область, в якій визначено функції
та
. Граничні умови визначають поведінку розв’язку на границі області G. Досліджувана система може знаходитись в контакті з іншими системами, які певним чином впливатимуть на неї. Характер цього впливу визначається типом граничних умов. Граничні умови першого роду :
 визначають значення функції
на деякій поверхні S. Фізично це означає, що задається температура на границі області G. Граничні умови другого роду:
 визначають потік тепла через границю S. При цьому похідна визначена за напрямком зовнішньої нормальні до S. Граничні умови третього роду:
 дозволяють об’єднати граничні умови першого та другого роду та визначають теплообмін із зовнішнім середовищем за законом Ньютона. Граничні і початкові умови повинні бути узгодженими на поверхні S:
 Розглянемо однорідний стержень довжиною l. Кінці стержня контактують із іншими середовищем, через які може здійснюватися теплообмін. Вважатимемо, що стержень знаходиться в середовищі із деякою постійною температурою. Якщо під
розглядати різницю температур між температурою стержня і температурою навколишнього середовища, то процес теплообміну може бути описаний за допомогою наступного рівняння теплопровідності:
  де
- коефіцієнт температуропроводності, q – коефіцієнт теплопередачі.
Для такої системи розглянемо граничні умови третього роду, як найбільш загальні:
 Шляхом відповідного вибору функцій
можна отримати граничні умови першого або другого роду. Зокрема, якщо через лівий кінець стержня проходить певний потік тепла, то покладаємо
. Якщо температура правого кінця стержня підтримується постійною, то
. Якщо через кінці стержня здійснюється теплообмін із зовнішнім середовищем за законом Ньютона (потік теплоти пропорційний градієнту температури), то
. При цьому
. Можна навести низку прикладів систем, процеси в яких описуються рівняннями (7) –(8). Корпус напівпровідникового приладу. З одного боку може міститися джерело тепла, тобто сам прилад, а з іншого – шасі пристрою або зовнішнє середовище. Відвід тепла від приладу здійснюється через теплопередачу до шасі та зовнішнього середовища. Радіатор для напівпровідникових приладів. Можливими є декілька варіантів розміщення приладів. Зокрема, прилади можуть бути розміщені з обох кінців стержня, а відвід тепла здійснюватиметься через теплообмін із зовнішнім с...